Matrices

MATRICES

Concepto de Matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,..

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a_ij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de Matriz

Matriz Fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz Columna: La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A  la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz regular: Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular: Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente: Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva: Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -A^t.

Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·A^t = I.

Propiedades

Es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria.

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo.

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier, dado que las entradas están en un campo.

• Existencia del inverso aditivo 

Existe tal que

A esta matriz se le denota por.

Demostración Dada tómese tal que.  Entonces; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier.

Operaciones

Producto de matrices

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

Matriz inversa

A · A^-1  = A^-1 · A = I

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1  = A

(K · A)^-1  = k^-1 · A^-1